2021年6月現在、iPhoneのYoutubeアプリからピクチャー・イン・ピクチャー機能を使用することができません。
現在ネットで報じられているものは、iOSアプリでも今後ピクチャー・イン・ピクチャー機能の提供を進める旨の内容となっており、今すぐにアップデートで使えるようになるというものではありません!
追記「Scriptable」という無料アプリを用いて、ショートカットレシピからYoutubeアプリでピクチャー・イン・ピクチャーを見ることは可能となっています。(iOS14以降)
参考:「YouTube」をApp Storeで|App Store
参考記事:「YouTube、iOSでピクチャ・イン・ピクチャを有料会員以外にも提供と発表|iPhone Mania」(https://iphone-mania.jp/news-376657/)
Safariからであれば使える
なお、Youtubeアプリにこだわらなければ、iPhone上でもYoutubeの動画再生をピクチャー・イン・ピクチャー機能で行うことができます。
ただし、Safariから見る場合でも現時点でYoutubeプレミアムを契約しているアカウントでYoutubeにログインしている必要があります。
手順は上記画像のように、動画ページをSafariで開き、①全画面モードにします。そして、②ピクチャー・イン・ピクチャーのボタンをタップします。これで完了です。
なお、Youtubeプレミアムを契約していないアカウント、もしくは未ログインでもピクチャー・イン・ピクチャーボタンが表示されていますが、押してもすぐに表示が消えてしまいます。
「Scriptable」を試してみる
iOS14以降であれば「Scriptable」を使ってピクチャー・イン・ピクチャーをアプリから行うことができます。そもそも、「Scriptable」は一体何者かというと、iOS上でjavascriptのプログラムを動かしiOSの機能を動作させるというものです。
要はこのアプリを使って(正確にはショートカットで)Youtubeアプリから(強引に?)ピクチャー・イン・ピクチャーを起動させるということです。その手があったか、という感じですが、いろんな抜け道がありますね笑
※「Scriptable」自体はiOS上でjavascriptを動かすためのアプリで、Youtubeアプリ上でピクチャー・イン・ピクチャーを起動させるレシピは「Youtube PiP | ShortcutsGallery.com」からダウンロードできます。

https://apps.apple.com/jp/app/scriptable/id1405459188
以降で手順をザっと紹介してきます。
①「Scriptable」をApp Storeからダウンロード
「Scriptable」をApp Storeで検索するか、リンクから飛んでダウンロードします。
謎めいたアイコンとリリース元の名前ですが、ダウンロードしても大丈夫です。
iOS14以降にしておく必要があるので、アップデートしてない方はアップデートしておきましょう。
アプリをダウンロードした後は、このアプリを開いて何かを行うことはありません。放っておいて大丈夫です。
②サイト「Youtube PiP | ShortcutsGallery.com」にアクセスしてショートカットをダウンロード
サイト「Youtube PiP | ShortcutsGallery.com」(https://shortcutsgallery.com/shortcuts/youtube-pip/)にアクセスして、「Get Shortcut」をクリックします。
クリックすると「ショートカット」アプリが起動します。このとき「"Youtube PiP"を開けません」というメッセージが出た場合は、「設定」アプリから「ショートカット」を開き「信頼されていないショートカットを許可」をオンにします。
そして「信頼されていないショートカットを追加」を押して、ショートカットを追加してください。
③あとは、Youtubeアプリの動画画面でショートカットを起動するだけ
ピクチャー・イン・ピクチャーを起動するには、まずYoutubeアプリを起動して、動画画面を開きます。
「共有」ボタンから「・・・」ボタンを押して、「Youtube PiP」を選択します。
Youtube PiPがScriptableへのアクセスする許可が出てきたら、「OK」を押してください。
これでピクチャー・イン・ピクチャーを起動できます。
不安になったらアンインストールして
ダウンロードからピクチャー・イン・ピクチャーを起動するまで、エラーや警告画面がいくつか出てくると思います。途中で不安になったらアンインストールしてしまいましょう。
Appleから信頼されていない提供元とは言え、普通に使用できるショートカットですが、今後Youtubeアプリで公式機能として登場する日も近いと思うので、気長に待つのも1つの手と言えるでしょう!